| Was ist eine Symmetrie?
Symmetrie erhält
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 | | Emmi Noether (1892-1935) | |
Schön = dumm? Mitnichten! 1918 erfolgte der Gegenbeweis. Damals zeigte die Mathematikerin Emmi Noether, dass Symmetrien nicht nur hübsch sind, sondern Physikern einiges zu bieten haben: Mit vielen Symmetrien sind Erhaltungsgrößen verbunden. Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen ist die Energie. Egal, was im Universum auch geschieht, seine Energie bleibt erhalten. Niemand hat bisher beobachtet, dass brauchbare Energie aus dem Nichts entsteht oder einfach dahin verschwindet. (Sehen wir von dem Urknall und ein paar kurzzeitigen Aussetzern in der Quantenwelt ab.)  Symmetrie und Erhaltungsgrößen | Die Erhaltungsgröße zur Symmetrie der Verschiebung der Zeitachse ist die Energie. Die Erhaltungsgröße zur Symmetrie, dass die Naturgesetze für einen Physiker genauso lauten wie für seinen Kollegen im Raum nebenan, ist der Impuls. Und aus der Drehsymmetrie des Universums folgt die Erhaltung des Drehimpulses. |
Nach Emmi Noether ist mit der Erhaltungsgröße Energie eine Symmetrie verbunden, nämlich dass die physikalischen Gesetze heute und morgen gleich lauten, dass wir also ohne Konsequenzen den Nullpunkt der Zeit verschieben können. Wäre die Schwerkraft beispielsweise sonntags doppelt so groß wie im Rest der Woche, so ließe sich auf folgende Weise Energie erzaubern: Sie pumpen am Samstag Wasser mit einem Motor in einen Wasserturm. Dafür brauchen Sie einen bestimmten Energiebetrag, den Sie erst einmal vorschießen müssen. Nun legen Sie sich die Nacht über schlafen und lassen das Wasser am Sonntag wieder durch eine Turbine hinunter. Da die Schwerkraft am Sonntag doppelt so groß ist, fließt das Wasser mit viel üppigerer Wucht nach unten und Sie erhalten die doppelte Energie zurück. Mit einem solchen Perpetuum Mobile sollten Sie dann ganz schnell zum Patentamt flitzen. | Die Mathematik der Symmetrie: Gruppentheorie | Um Symmetrien kümmern sich nicht nur Physiker. Es hat sich ihnen auch eine ganze Abteilung der Mathematik verschrieben: die Gruppentheoretiker. Die untersuchen nicht etwa kleinere Menschenansammlungen, sondern mathematische Gruppen, zu denen auch viele symmetrische Aktionen zusammengefasst werden. Nehmen wir beispielsweise einen Kreis. Er kann um einen beliebigen Winkel gedreht werden, ohne dass sich sein Aussehen ändert. In der Mathematik nennt man eine solche Drehung "Symmetrieoperation". Davon gibt es bei einem Kreis unendlich viele, weil wir ihn um einen beliebigen Winkel drehen können. Damit nun die Symmetrieoperationen eine Gruppe bilden, muss Folgendes gelten: Wenn wir zwei Operationen nacheinander ausführen, erhalten wir eine dritte. (Anstatt zuerst um 90 Grad und dann um -20 Grad zu drehen, könnten wir gleich um 70 Grad drehen.) Auch das Nichtstun ist eine Symmetrieoperation. (Also das Drehen um null Grad.) Zu jeder Drehung gibt es eine Drehung, die sie wieder rückgängig macht. (Wenn man um 35 Grad nach links dreht, kann man danach auch um 35 Grad nach rechts drehen.) Es gilt die so genannte Assoziativität. (Wenn wir drei Drehungen um 15, 25 und 35 haben, so können wir zunächst um 40 (= 15 + 25) und dann um 35 Grad drehen, oder zunächst um 15 und dann um 60 (= 25 + 35) Grad drehen.)
Mathematiker haben sich mittlerweile alle denkbaren Symmetriegruppen angeschaut und einen mächtigen Werkzeugkasten, eben die Gruppentheorie, entwickelt, mit dem sie die Eigenschaften von Gruppen untersuchen können. Ohne diesen Kasten trauen sich die wenigsten theoretischen Physiker heute noch aus dem Haus. |
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