Hinter den Bellschen Ungleichungen verbirgt sich keine sonderlich schwere Mathematik, aber recht unübersichtlich ist die Herleitung schon. Im Wesentlichen gilt es, eine Größe D zu konstruieren, die im Fall der Quantentheorie und im Fall einer Theorie mit verborgenen Variablen unterschiedliche Werte bei einer Messung annimmt. Die Experimente sprechen gegen die Theorie verborgener Variablen.

Bei seiner Ungleichung ging Bell von zwei Photonen aus, die über ihre Polarisation in einer Quanten-Fernbeziehung stecken: Die Polarisation beider Quanten soll dabei bezüglich 0 Grad und 90 Grad immer gleich sein.

Wesentlich bei Bells Experiment ist nun, dass die Polarisationen auch bezüglich unterschiedlicher Winkel gemessen werden, zum Beispiel Alpha und Alpha + 90 Grad. Die Zustände |0> oder |90> lassen sich auch bezüglich dieser Winkel schreiben.

Wir können nun den Zustand des ersten Photons mit Hilfe der Winkel Alpha und (Alpha + 90 Grad) und den Zustand des zweiten Photons durch einen anderen Winkel Beta und (Beta + 90 Grad) ausdrücken:

Dabei wurden im letzten Schritt Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet.

Im Experiment kommen nun zwei Detektoren zum Einsatz. Der eine misst bezüglich die Polarisation des ersten Photon bezüglich des Winkels Alpha, der zweiten Detektor misst die Polarisation des zweiten Photons bezüglich des Winkels Beta. Die Wahrscheinlichkeit, dass dass beide Detektoren anschlagen sei P₊₊, dass keiner der Detektoren anschlägt P_--. Zudem gibt es die beiden Fälle P_-+ und P_+-, bei denen nur einer der beiden Detektoren anschlägt.

Aus der letzten Gleichung lassen sich sehr einfach die vier Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dazu müssen nur die Faktoren vor den jeweiligen Zuständen quadriert werden:

Jetzt können wir eine Größe E konstruieren, die wie folgt aussieht:

Der Wert für E ergibt sich aus den Gleichungen 5 und 6 und ein paar Umformungen mit Sinus und Kosinus. E entspricht nun dem Erwartungswert der Messung M(Alpha)M(Beta), wobei das Ergebnis von M(a) auf den Zustand |a> angewendet "1" lautet und auf den Zustand |a+90> angewendet "-1" beträgt:

Zudem definieren wir eine Größe D wie folgt:

Bei bestimmten Winkeln

wird diese Größe maximal:

Fall mit verborgenen Variablen

Falls es keinen Zufall in der Quantentheorie gibt, ist das Ergebnis der Messung M durch eine verborgene Variable v bereits im Vorfeld definiert:

Es gilt dann:

Daraus ergibt sich für D im Falle versteckter Variablen:

Dies führt zu einer Ungleichung zwischen den maximalen Werten im Falle der Vollständigkeit der Quantentheorie oder dem Fall versteckter Variablen.